如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，连接CF，BE交于点P，连接AP，求证AP＝AB。

[思路导航]根据条件中的正方形和中点

易得△BCE≌△CDF（SAS）

BE⊥CF（因为篇幅较长不证明）

由条件或问题出发在初中阶段可以有多重不同思路

方法一、AB是正方形的边，构造全等三角形，利用等量代换解决，因为F是中点，所以考虑取BC的中点

证明：取BC中点Q，连接QF，PQ

则FQ//AB，FQ=AB

∵PQ是Rt△BPC的中线

∴PQ＝BC/2=BQ＝AF

∴∠QPB＝∠QBP=∠CFQ

∵∠BPF＝∠AFQ=90o

∴∠QPF＝∠AFP

在△AFP与△QPF中

AF＝QP，∠AFP＝∠FPQ，FP＝PF

∴△AFP≌△QPF(SAS)

∴AP=FQ

∴AP=AB

方法二、由问题出发，A应是PB垂直平分线上的点，所以考虑去证明

证明：取BC中点G，连接AG交PB于H

∵F、G是AD、BC的中点

∴AF＝GC、AF//GC

∴AGCF是平行四边形

∴AH//CF ,H是PB的中点

又∵BE⊥CF

∴BE⊥AH

∴AH是PB的垂直平分线

∴AP=AB

方法三、由∠BPF是直角，F是中点，构造直角三角形求解，类似三角形的倍长中线法。

证明：延长CF至H，使FH＝CF，连接HA

结合正方形及相关中点易得

△CDF≌△HAF(SAS)

∴HA＝DC＝AB，

∴∠HAF＝∠CDF=90o

∴∠HAB＝180o，H,A,B共线

∴点A是Rt△BPH斜边的中点

∴AP=AB

此法也可以从所求出发以A为圆心AB为半径作圆，相关线段延长后相交去逆向考虑，如下图

方法四、考虑利用正方形的边长相等及给的中点，用解析法也比较方便

证明：以A为原点建立坐标系，设正方形边长为2a，则各点坐标如下

B(2a,0),C(2a,2a),E(a,2a),F(0,a)

根据点坐标得出直线BE与CF的解析式

再根据解析式得交点P坐标(6a/5,8a/5)

利用距离公式可得出

AP=2a

∴AP=AB

方法五、因为四边形ABPF内对角互补，所以利用四点共圆，辅助求解

证明：连接BF，

易得△ABF≌△CBE(SAS)

∴∠ABF＝∠CBE(i)

又∵BP ⊥ FC

∴∠BAF+∠BPF=180o

∴A、B、P、F四点共圆

∴∠APF＝∠ABF(ii)

∴∠APF＝∠CBE

∴∠APB＝∠ABP

∴AB=AP

小结：本题难度适中，从不同角度去分析可得多种求解方法，三角形、四边形和圆其实常常有联系，可以多往这方面考虑，解析法在初中阶段不常用，但也可以多加使用。