折叠相当于轴对称，是一种重要的图形变换，在全国各地市中考题中经常出现，在一类折叠问题中，如果折痕是可变化的并且经过某个定点，那么折叠后关键点的位置也是可变的，这个时候就需要我们自己动手，确定好关键点的位置，作出正确图形，进而求解。在这样的问题中，我们可以利用作圆来迅速找到关键点的位置。从而有效突破此类变轴的折叠问题（注意：此类方法只适用于一部分折叠问题，就是：折痕可变且经过某个定点。）

例1. （2018秋·宜兴市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）

A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对

【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．

【解答】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴利用勾股定理可求得AB＝10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．

∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．

又∵FP为定值，∴PD有最小值．

又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．

∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．

故选：B．

【点评】本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．有，未经书面同意，不得复制发布

变式练习1．（2018·卧龙区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，tan∠FBD是_______．

变式练习2．（2017秋·泉州期末）如图，等腰△ABC中，CA=CB=6，AB=6√3．点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAE与△CBF，连接EF，则△CEF面积的最小值为_______．

变式练习答案及提示

1. 1/2．

【提示】由题意得：DF=DB，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得到AD=5，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．

2. 9√3/4．

【提示】作CH⊥AB于H．首先证明△ECF是顶角为120°的等腰三角形，根据此线段最短可知CD的最小值为3，延长即可解决问题；

例2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．

解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA'=MD，故点A'在以AD为直径的圆上．如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，

如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，

∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=1/2MD=1/2，

变式练习3.如例题2的图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′B，请求出A′B长度的最小值．

变式练习4．（2018春·建德市期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3√3．点M是AD边的中点，点N是AB边上的一个动点．将△AMN沿MN所在的直线翻折到△A′MN，连结A′C．则线段A′C长度的最小值为（ ）

A．5 B．7

C．4√3 D．5√3

变式练习5．（2018·安徽模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（ ）

【提示】如图4，由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，

故点A′在以AD为直径的圆上，

4.A

【提示】由折叠可得A'M=AM=2，则点A'在以M为圆心，半径为2的圆上，所以当M，A'，C三点共线时，A'C的长度最小，CE⊥AD，根据勾股定理分别求出DE，MC的长度，即可求A'C长度的最小值．

5.D．

【提示】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E=1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE﹣A′E即可求出结论．

从上面例题习题解法，我们从中可以体会到如下规律：

折叠类综合问题蕴含轴对称性质，那么我们就要掌握好轴对称相关知识内容，如根据轴对称的性质，我们可以得到以下这些内容：

1、折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；

2、互相重合两点（对称点）之间的连线必被折痕垂直平分；

3、对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；

4、对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等。

简单地说对于折叠矩形，可以得到“轴对称”的图形，对应线段相等、对应角相等、对应的三角形全等；

在求解一条动线段长的折叠最值时，先弄清楚有几个动点（一端动还是两端都动），再考察动点运动的轨迹（直线或圆）.一般地，有：动线段的一端为定点，另一端在定直线上运动，可归结到“垂线段最短”；动线段的两端分别在两定直线上运动，可转化为“垂线段最短”；

动线段的一端在定圆上，另一端在定直线上运动，可归结到“垂线段最短”；动线段的一端为定点，另一端在定圆上运动，可归结到“两点之间，线段最短”；动线段的两端都在一个定圆上运动，可归结到“两点之间，线段最短”；动线段的两端分别在两个动圆上运动，可归结到“两点之间，线段最短”.

因此如果你想能很好解决折叠类综合问题，要想使解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁。就需要在解题过程中充分运用以上这些抽对称相关性质内容，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等等知识内容来解决有关折叠类综合问题。