类比思维方法是数学创造性思维中很重要的一种思维方法，在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来，使得'柳暗花明又一村'。法国数学家兼天文学家拉普拉斯说：'即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。' ，德国天文学家数学家开普勒对类比方法更是情有独钟，推崇备至，他说：'我们珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师。'康德也深刻地指出：'每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。'因此可以这样讲，类比是发明创造的源泉,是一种重要的数学思维模型。

数学类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．对于三角形中之类比探究问题是中考数学中的热点，其一般求解方法：（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）用解决第（1）问的方法类比解决下一问，整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线， 照搬思路 ．

类型1 图形的关键元素的位置变化

例1（2018秋·丰城市期中）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，

（1）如图1，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，求证：AB＝AC+CD；

（2）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；

（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．

【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC+CD；

（2）由（1）得出AB＝AC+CD即可；

（3）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC+AB＝CD．

【解答】（1）证明：如图1，在AB上截取AE＝AC，连接DE，

∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD＝∠CAD，

在△ADE与△ADC中， AE=AC, ∠BAD＝∠CAD，AD=AD,

∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，

∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，

∴EB＝ED，∴EB＝CD，∴AB＝AE+DE＝AC+CD．

（2）由（1）可得：AB＝AC+CD

（3）猜想：AB+AC＝CD．

在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，如图3．

∵AD平分∠FAC，∴∠EAD＝∠CAD．

在△EAD与△CAD中，

AE=AC, ∠EAD＝∠CAD，AD=AD，

∴△EAD≌△CAD（SAS）．

∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD． ∴∠FED＝∠ACB．

又∠ACB＝2∠B，∠FED＝∠B+∠EDB，∠EDB＝∠B．∴EB＝ED．

∴EA+AB＝EB＝ED＝CD．∴AC+AB＝CD

【点评】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

例1变式（2018秋·大石桥市校级月考）如图，画一个两条直角边都相等的Rt△ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B、C作射线AD的垂线BE和CF，垂足分别为E、F．

（1）试判断线段BE、CF、EF长度之间有什么关系？试说明理由．

（2）改变D的位置，再重复上面的操作，（1）中的结论是否发生改变？为什么？

【分析】（1）结论：CF＝BE+EF 证明△ABE≌△CAF 即可；

（2）结论发生变化：当点D运动到BC中点的左边时，EF+CF＝BE；

【解答】（1）结论：CF＝BE+EF．

理由：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，

∵∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，

在△ABE和△CAF中，

∠AEB＝∠CFA＝90°，∠ABE＝CAF，AB=AC，

∴△ABE≌△CAF（AAS），∴BE＝AF，AE＝CF，

∴CF＝AE＝AF+EF＝BE+EF；

（2）结论发生变化：当点D运动到BC中点的左边时，EF+CF＝BE．

理由：如图，

∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，

∵∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，

在△ABE和△CAF中，

∠AEB＝∠CFA＝90°，，∠ABE＝CAF，AB=AC，

∴△ABE≌△CAF（AAS），

∴BE＝AF，AE＝CF，∴BE＝EF+CF；

类型2 图形的线性变化

例2（2018秋·吉林期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，且∠DAE＝90°，连接CE．

（1）如图①，当点D在线段BC上时：

①BC与CE的位置关系为______；

②BC、CD、CE之间的数量关系为_______．

（2）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若不成立，请你写出正确结论，并给予证明．

（3）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　 　．

【分析】（1）根据条件AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），①利用两角的和即可得出结论；②利用线段的和差即可得出结论；

（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝135°，即可解决问题；

（3）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再根据BD＝BC+CD，即可得出结论．

【解答】（1）如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，AB=AC, ∠BAD＝∠CAE，AD=AE,∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，

①∵∠ACE＝45°＝∠ACB，

∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE；

②∵BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，

故答案为：BC⊥CE，BC＝CD+CE；

（2）结论①成立，②不成立，结论：CD＝BC+CE

理由：如图2中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠EAC，

在△ABD和△ACE中，AB=AC, ∠BAD＝∠EAC，AD=AE,

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝135°，∴CD＝BC+BD＝BC+CE

∵∠ACB＝45°, ∴∠DCE＝90°，∴CE⊥BC；

（3）如图3中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD

即∠BAD＝∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，

AB=AC, ∠BAD＝∠EAC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD，

故答案为：CE＝BC+CD．

【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

例2变式1.已知，在△ABC