（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD三条线段之间的关系．

【解析】（1）根据题目条件及（1）问中D在线段BC上，证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，结论可证．

（2）用解决第（1）问的方法解决后续问题，方法上完全照搬．

如图2，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，进而得到BC+CD=CF；

如图3，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，进而得到BC+CF=CD．

例2变式2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．

（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC=DC+CE是否成立；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、点E分别在直线BC的异侧，其他条件不变，直接写出BC、DC、CE之间存在的数量关系．

【解析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；

②由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE；

（2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE；

（3）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出CE+BC=CD．

类型3 图形的几何变换

例3.已知AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，如图1．

（1）求证：AC=CE．

（2）若将△ECD沿CB方向平移至如图2的位置（C1，C2不重合），其余条件不变，结论AC1=C2E还成立吗？请说明理由．

（3）若将△ECD沿CB方向平移至如图3的位置（B，C2重合），其余条件不变，结论AC1=C2E还成立吗？请说明理由.

解析：（1）AC=CE，由垂直转互余可以得到∠A=∠DCE，

结合BC=DE证明△ABC≌△CDE，得到对应边相等，可以得到AC=CE．

（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．

（3）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．

例3变式1. 如（1）图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE可证得AC⊥CE，若将CD沿CB方向平移到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2E仍然成立的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】由题中条件可得出Rt△ABC≌Rt△CDE，所以∠ECD+∠ACB=90°，而在后面的几种情况中，只要满足两个角之和为90°即可．

（2），（3），（4），（5）均成立故选：D．

例3变式2.（2018秋·鸡东县期末）已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED＝EC．

（1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC＝CD；

（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；

（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系．

【分析】（1）在CD上截取CF＝AE，连接EF．运用'AAS'证明△ECF≌△EDB得AE＝BD，从而得证；

（2）在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF．同理可得AE、AC和CD的数量关系；

（3）同（2）的探究过程可得AE、AC和CD的数量关系．

【解答】（1）证明：在CD上截取CF＝AE，连接EF．

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC．

∴BF＝BE，△BEF为等边三角形．∴∠EBD＝∠EFC＝120°．

又∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECF．∴△EDB≌△ECF （AAS）

∴CF＝BD．∴AE＝BD．

∵CD＝BC+BD，BC＝AC，∴AE+AC＝CD；

（2）解：在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF．

同（1）的证明过程可得AE＝BD．

∵CD＝BC﹣BD，BC＝AC，∴AC﹣AE＝CD；

（3）解：AE﹣AC＝CD．

（在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF．证明过程类似（2））．

例4.如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，

∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．

（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形．

（2）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到如图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

解析：（1）由已知条件先证明△BAE≌△CAD(SAS)，得到BE=CD，结合第一次全等提供的条件证明△ABM≌△ACN(SAS)得到AM=AN，因而△AMN是等腰三角形．

（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=CD，△AMN是等腰三角形．

例3变式.如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD的中点．

（1）判断△AMN的形状，请说明理由．

（2）将图2中的△ADE绕A旋转，条件不变，在旋转过程中，△AMN的形状是否发生变化？根据图2中点D的位置画出旋转后的图形，并判断此时△AMN的形状（直接写出结论，不需要证明）

【解析】（1）如图1，先根据条件得出∠BAE=∠CAD，就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD，BE=CD，由中点的性质就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出结论；

（2）如图2，先根据条件就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD，BE=CD，由中点的性质就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出结论．

练习1.我们知道，等腰三角形的两个底角相等，即在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（如图①所示）．请根据上述内容探究下面问题：

（1）如图②，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，动点D在BC边上运动，试证明CD=BE且CD⊥BE．

（2）如图③，在（1）的条件下，若动点D在CB的延长线上运动，则CD与BE垂直吗？请在横线上直接写出结论，不必给出证明，

答：___________．

（3）如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，动点D在△ABC内运动，试问CD⊥BE还成立吗？若成立，请给出证明过程．

（4）如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=x°（90＜x＜180），点D在△ABC内，请在横线上直接写出直线CD与直线BE相交所成的锐角（用x的代数式表示）．

答：直线CD与直线BE相交所成的锐角______．

【提示】（1）由条件易证△CAD≌△BAE，从而有CD=BE，∠ACD=∠ABE，根据三角形外角性质和内角和定理就可求出∠CBE=90°，从而得到CD⊥BE．

（2）借鉴（1）的证明思路就可得到CD⊥BE仍然成立．

（3）延长CD交BE于点F，交AB于O，如图④，借鉴（2）的证明思路即可解决问题．

（4）延长CD交BE于点F，交AB于O，如图⑤，借鉴（3）的证明思路即可解决问题．