■吴小宝

    在数学教学中，教师合理设计问题，适时追问，能推动学生思维的层层递进。在教师的提问下，学生思维经过记忆、理解到分析、综合、评价，实现了思维层次的逐步提高。 

    日常的思维，就像我们普通的行走能力一样，是每个人与生俱来的。但是，高层思维能力，就像百米赛跑一样，是一种技术、技巧上训练的结果。赛跑选手需要训练才能掌握百米冲刺技巧，同样，思维能力也需要相应的教学支持。

    教师设计的问题

    《直角三角形的性质》是初中几何部分的重点内容，在初二阶段具有承上启下的作用，是后面学习四边形、锐角三角形的基础。以上海三门中学姚老师一节课为例，提问一直贯穿着这节课。教师在这堂课中一共抛出了五大问题：

    1.什么叫直角三角形？

    2.Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B有怎样的数量关系？追问：如何用数学符号语言描述相关定理？ 

    3.给你一个直角三角形纸片，如何只剪一刀，将它分成两个直角三角形呢？追问一：你是怎么剪的，有没有成功？为什么通过折叠的方法剪出的三角形是直角三角形？追问二：前面的剪法都是过直角顶点，若不过直角顶点，过另外两个顶点去剪的话，能否得到两个直角三角形？如果不是的话，那得到的是什么样的图形呢？追问三：如果不过三角形顶点剪会得到什么样的图形呢？转问：图中有4个锐角∠A、∠B、∠1、∠2两两之间有怎样的数量关系？请说明理由。

    4.给你一个直角三角形纸片，如何只剪一刀，将它分割成两个等腰三角形？追问一：选取斜边中点的剪法的话，你有没有测量过，为什么沿着这条线剪，得到的就是等腰三角形呢？追问二：按这个图形的话，图中有哪些线段相等呢？追问三：第二种剪法你是怎么剪的，请说明理由。

    5.第二种剪法中，你所发现的结论如何用文字命题来描述？追问一：这个命题的已知、求证是什么？追问二：如何证明这两个结论？追问三：这两个三角形的全等用哪种判定方法？这对三角形可以通过哪种运动方式得到呢？为什么证平行呢？追问四：还有其他方法吗？这种方法的证明思路是什么？全等的理由是什么？全等之后想要得到什么结论？这对三角形可以通过哪种运动方式得到呢？

    对教师所提问题的分析

    从教师提出的五大问题可以看出：问题1是直角三角形的定义，问题2是直角三角形两锐角互余，这两个问题学生可以通过已有的思维水平解决；问题3需要学生通过分析问题，将已学过的内容进行整合，进而选取合适的解决方式；问题4需要学生在问题3的基础上进一步思考、创新去解决，并且评价其他同学的想法是否正确；问题5需要学生在问题4的基础上，进一步进行抽象，用创造性思维解决定理2的证明。问题3、4、5的解决，教师不是以讲为主，消极地适应学生智力发展的已有水平，而是走在发展的前面，把学生的认知从一个已有的水平引导到一个更高的水平。

    几何证明本身就具有较高层次的思维要求。数学是最严谨、最严格的学科，在这节对直角三角形的性质的研究与学习的课中，教师多次追加问题，从追问频率和追问方式角度进行分析，教师的追问方式集中在逆向追问和因果追问两种方式。因果追问能够引发学生深入思考，给学生提供展示思维过程的机会。这样有利于教师及时了解学生的学习过程和学习方法，以便教师调整教学策略，向学生提供具体的帮助和指导。逆向追问能够引导学生针对某一具体问题进行多角度、多层面的分析与研究，培养学生的反思能力，提升学生的思维水平。教师这些分层递进的追问，对学生逻辑思维的提升具有很大的促进作用。

    开放性问题的意义

    在定理的引入及证明这个过程中，教师通过一系列的开放性问题来启发、引导学生。教师通过一个剪纸操作向学生展示：给你一个直角三角形纸片，如何只剪一刀，将它分割成两个等腰三角形，让学生通过小组合作来寻求解决方法。在学生回答的过程中，我们也看到了学生思维的变化：有的小组通过找到斜边中点，然后用测量斜边中线和斜边的长度的数量关系来验证；有的小组通过将直角分割成两个锐角，通过等角对等边来得到线段的相等；有的小组通过折纸的方式得到两个等腰三角形……，这些方法为后面证明定理2提供了思路。剪纸完成之后，教师让学生尝试着用文字语言来描述他们发现的结论，注重对学生数学表达能力的培养。在定理2的证明上学生各抒己见，有的学生通过倍长中线，利用两次全等证明；有的学生通过做双垂线，利用两次全等证明；有的学生通过做平行线，利用两次全等证明；有的学生试图利用平行四边形的性质证明……在这个片断中，教师通过对教材中这部分内容的改编、加工，设计了一系列开放性证明方法，这些都有助于激发学生的探究兴趣。 （作者单位：上海理工大学附属初级中学）