题文

求所有的素数对（p，q），使得pq|5p+5q．

题型：解答题  难度：中档

答案

若2|pq，不妨设p=2，则2q|52+5q，故q|5q+25． ∵q|5q-5， ∴q|30，即q=2，3，5．易验证素数对（2，2）不合要求，（2，3），（2，5）合乎要求． 若pq为奇数且5|pq，不妨设p=5，则5q|55+5q，故q|5q-1+625． 当q=5时素数对（5，5）合乎要求，当q≠5时，由Fermat小定理有q|5q-1-1，故q|626．由于q为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以q=313．经检验素数对（5，313）合乎要求． 若p，q都不等于2和5，则有pq|5p-1+5q-1，故5p-1+5q-1≡0（bmodp）．① 由Fermat小定理，得5p-1≡1（bmodp），② 故由①，②得5q-1≡-1（bmodp）．③ 设p-1=2k（2r-1），q-1=2l（2s-1），其中k，l，r，s为正整数． 若k≤l，则由②，③易知1=12l-k(2s-1)≡(5p-1)2l-k(2s-1)=52l(2r-1)(2s-1)=(5q-1)2r-1≡(-1)2r-1≡-1 (bmodp)， 这与p≠2矛盾！所以k＞l． 同理有k＜l，两结论矛盾，即此时不存在合乎要求的（p，q）． 综上所述，所有满足题目要求的素数对（p，q）为： （2，3），（3，2），（2，5），（5，2），（5，5），（5，313）及（313，5）．

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有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数