题文

已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2-（8p-10q）x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）．

题型：解答题  难度：中档

答案

根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=8p-10q， x1?x2=5pq， 质数都是正整数．所以5pq肯定是正整数， 有一根是正整数，x1x2肯定都是正整数， 可以知道有几种可能， x1=5 x2=pq；x1=5p x2=q；x1=5q x2=p；x1=1，x2=5pq； 将x1，x2代入 x1+x2=8p-10q， 5+pq=8p-10q，（1） p（q-8）+10（q-8）+80+5=0， （q-8）（p+10）=-85=-5×17=-1×85， q=3，p=7，或q=7，p=75（舍去）， 5p+q=8p-10q，11q=3p，（2） p=11，q=3， 5q+p=8p-10q，15q=7p，（3） p=15，q=7（舍去）， 5pq+1=8p-10q，（4） 5q（p+2）-8（p+2）+16+1=0， （p+2）（5q-8）=-17， p=15，q= 7 5 （舍去），p=-1，q=- 9 5 （舍去），q= 9 5 ，p=-19（舍去），q=5，p=-3（舍去）， 最后p=11，q=3， 或p=7，q=3． 故存在两对质数（11，3）和（7，3）．

据专家权威分析，试题“已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2-（8p-10q）x+5pq=0至少..”主要考查你对  有理数定义及分类，一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类一元二次方程根与系数的关系

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0