题文

已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1-m）x-m2 的两实数根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）将原方程整理为 x2 + 2（m-1）x + m2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根， ∴ △= [ 2（m-1）2-4m2 =-8m + 4≥0， 得 m≤． （2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m-1）x + m2 = 0的两根， ∴ y = x1 + x2 = -2m + 2，且m≤． 因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得极小值1

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程x2=2（1-m）x-m2的两实数根为x1，x2．（1）求..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0