题文

阅读材料：一般地，如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2．那么x1+x2=- b a ，x1?x2= c a ．我们把一元二次方程的根与系数关系的这个结论称为“韦达定理”．根据这个结论解决下面问题： 已知方程4x2-2x-1=0的两个根为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值： （1） 1 x1 + 1 x2 ； （2）x12+x22； （3） x2 x1 + x1 x2 ； （4）(x1-x2)2．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵方程4x2-2x-1=0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2= 1 2 ，x1?x2=- 1 4 ； （1）原式= x1+x2 x1x2 = 1 2 - 1 4 =-2； （2）原式=（x1+x2）2-2x1x2= 1 4 -2×（- 1 4 ）= 3 4 ； （3）原式= (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 = 3 4 - 1 4 =-3； （4）原式=（x1+x2）2-4x1x2= 1 4 -4×（- 1 4 ）= 5 4 ．

据专家权威分析，试题“阅读材料：一般地，如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0