已知:关于x的方程(a2-1)(xx-1)2-(2a+7)(xx-1)+11=0有实根.(1)求a取值范围;(2)若原方程的两个实数根为x1,x2,且x1x1-1+x2x2-1=311,求a的值.-数学

题文

已知:关于x的方程(a2-1)(
x
x-1
)2-(2a+7)(
x
x-1
)+11=0有实根.
(1)求a取值范围;
(2)若原方程的两个实数根为x1,x2,且
x1
x1-1
+
x2
x2-1
=
3
11
,求a的值.
题型:解答题  难度:中档

答案

x
x-1
=y,
①当方程为一次方程时,
即a2-1=0 a=±1.
②当方程为二次方程时,a2-1≠0
则a≠±1,
原方程可化为:(a2-1)y2-(2a+7)y+11=0,
∴△=b2-4ac=(2a+7)2-4(a2-1)×11≥0,
∴40a2-28a-93≤0,
解得:
7-

979
20
≤a≤
7+

979
20

(2)设y1=
x1
x1-1
,y2=
x2
x2-1

则y1,y2是方程(a2-1)y2-(2a+7)y+11=0的两个根,
∴y1+y2=
2a+7
a2-1
=
3
11

解得:a=-
8
3
或a=10.

据专家权威分析,试题“已知:关于x的方程(a2-1)(xx-1)2-(2a+7)(xx-1)+11=0有实根.(1)求a..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根的判别式

考点名称:一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系:
    如果方程 的两个实数根是那么
    也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论:
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p , x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示:
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,他的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0

考点名称:一元二次方程根的判别式

  • 根的判别式:
    一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
    定理2  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
    定理3  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。

    根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
    定理5  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
    定理6  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
    注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
    (2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
    (3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
    (4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。

  • 根的判别式有以下应用:
    ①不解一元二次方程,判断根的情况。
    ②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
    ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ④应用根的判别式判断三角形的形状。
    ⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
    ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
    ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
    ⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。

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