题文

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边顺次为a、b、c，∠C=90°．若关于x的方程c（x2+1）-2 2 bx-a（x2-1）=0的两根平方和为10，则 b a 的值为______．

题型：填空题  难度：中档

答案

原方程整理为（c-a）x2-2 2 bx+（c+a）=0， 设x1，x2是方程的两个根，则x12+x22=10，即（x1+x2）2-2x1x2=10， 把方程根公式代入，得 （ 2 2 b c-a ）2-2× c+a c-a =10，即4b2-（c2-a2）=5（c-a）2， 由勾股定理得：c2-a2=b2，代入以上方程整理后有 3b2=5（c-a）2． ∵c是斜边， ∴c＞a，两边开平方，得 3 b+ 5 a= 5 c， 两边同时平方得， 3b2+5a2+2 15 ab=5c2， 再次将勾股定理代入得， 3b2+5a2+2 15 ab=5a2+5b2， 2b2=2 15 ab， ∴ b a = 15 ． 故答案为： 15 ．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边顺次为a、b、c，∠C=90°．若关于x的方程..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，三角形的三边关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系三角形的三边关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：三角形的三边关系

• 三角形的三边关系：
  在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
  设三角形三边为a,b,c
  则
  a+b>c
  a+c>b
  b+c>a
  a-b<c
  a-c<b
  b-c<a
  在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
  则两直角边的平方和等于斜边平方。
  在等边三角形中，a=b=c
  在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b
  在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c²=a²+b²-2abcosc

• 三角形的三边关系定理及推论：
  （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
  推论：三角形的两边之差小于第三边。
  （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
  ①判断三条已知线段能否组成三角形；
  ②当已知两边时，可确定第三边的范围；
  ③证明线段不等关系。