题文

已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个实根x1、x2，且a＞b＞c，a+b+c=0，若则d=|x1-x2|的取值范围为______．

题型：填空题  难度：中档

答案

∵实系数一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个实根x1、x2， ∴x1+x2=- 2b a ，x1?x2= c a ， ∴d2=|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1?x2=（- 2b a ）2- 4c a = 4b2-4ac a2 = 4(-a-c)2-4ac a2 =4[（ c a ）2+ c a +1]=4[（ c a + 1 2 ）2+ 3 4 ] ∵a＞b＞c，a+b+c=0， ∴a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c， 解得：-2＜ c a ＜- 1 2 ， ∵f（ c a ）=4[（ c a ）2+ c a +1]的对称轴为： c a =- 1 2 ， ∴当-2＜ c a ＜- 1 2 时，f（ c a ）=4[（ c a ）2+ c a +1]是减函数， ∴3＜d2＜12， ∴ 3 ＜d＜2 3 ， 即 3 ＜|x1-x2|＜2 3 ．

据专家权威分析，试题“已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个实根x1、x2，且a＞b＞c，..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0