题文

阅读下面的材料： ax2+bx+c=0（a≠0）的根为，x1= -b+ b2-4ac 2a ．x2= -b- b2-4ac 2a ． ∴x1+x2= -2b 2a =- b a ，x1x2= b2-(b2-4ac) 4a2 = c a ． 综上所述得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有：x1+x2=- b a ，x1x2= c a ． 请利用这一结论解决下列问题： （1）若x2+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值． （2）设方程2x2+3x+1=0的根为x1、x2，求x12+x12的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）根据材料中的x1+x2=- b a ，x1x2= c a ， 可得b=-（3+1）=-4，c=3×1=3； 故b=-4，c=3； （2）根据题意，可得x1+x2=- b a =- 3 2 ，x1x2= c a = 1 2 ； 又x12+x12=（x1+x2）2-2x1x2= 9 4 -2× 1 2 = 5 4 答：x12+x12= 5 4 ．

据专家权威分析，试题“阅读下面的材料：ax2+bx+c=0（a≠0）的根为，x1=-b+b2-4ac2a．x2=-b-b..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0