题文

我们知道，对于实系数方程ax2+bx+c=0（a≠0），若x1、x2是其两实数根，则有ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2，故有b=-a（x1+x2），c=ax1x2，即得x1+x2=- b a ，x1x2= c a ． 根据上述内容，若实系数方程ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）的三个实数根分别是x1、x2、x3，则x1+x2+x3=______； x1x2x3=______．

题型：填空题  难度：中档

答案

根据题意可得 ax3+bx2+cx+d =a（x-x1）（x-x2）（x-x3） =a（x2-xx1-xx2+x1x2）（x-x3） =a（x3-x2x1-x2x2+xx1x2-x2x3+xx1x3+xx2x3-x1x2x3） =ax3-a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x-ax1x2x3， ∴b=-a（x1+x2+x3），d=-ax1x2x3， 即得x1+x2+x3=- b a ，x1x2x3=- d a ． 故答案为：- b a ，- d a ．

据专家权威分析，试题“我们知道，对于实系数方程ax2+bx+c=0（a≠0），若x1、x2是其两实数根..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0