题文

关于的方程2x3+（2-m）x2-（m+2）x-2=0有三个实数根分别为α、β、x0，其中根x0与m无关． （1）如（α+β）x0=-3，求实数m的值． （2）如α＜a＜b＜β，试比较： 4a-m a2+1 与 4b-m b2+1 的大小，并说明你的理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由2x3+（2-m）x2-（m+2）x-2=0得（x+1）（2x2-mx-2）=0，∴x0=-1，（2分） α、β是方程2x2-mx-2=0的根∴α+β= m 2 ， ∵（α+β）x0=-3，所以m=6（4分） （2）设T= 4b-m b2+1 - 4a-m a2+1 = (b-a) (a2+1)(b2+1) (4-4ab+ma+mb)（5分） ∵a＜b，∴b-a＞0，又a2+1＞0，b2+1＞0，∴ (b-a) (a2+1)(b2+1) ＞0（6分） 设f（x）=2x2mx-2，所以α、β是f（x）=2x2mx-2与x轴的两个交点， ∵α＜a＜b＜β ∴ f(a)＜0 f(b)＜0 ，即 2a2-ma-2＜0 2b2-mb-2＜0 ∴ma+mb＞2a2+2b2-4（8分） ∴4-4ab+ma+mb＞2（a-b）2＞0（9分） ∴T＞0，即 4b-m b2+1 ＞ 4a-m a2+1 （10分）

据专家权威分析，试题“关于的方程2x3+（2-m）x2-（m+2）x-2=0有三个实数根分别为α、β、x0，..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系二次函数与一元二次方程

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
  ③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
  若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
  ④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。