题文

已知：方程x2-2（k-1）x+2k2-12k+17=0，两根为x1、x2，求x12+x22的最大值与最小值，并求此时方程的根．

题型：解答题  难度：中档

答案

方程x2-2（k-1）x+2k2-12k+17=0，两根为x1、x2， ∴x1+x2=2（k-1），x1x2=2k2-12k+17， ∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2 =4（k2-2k+1）-2（2k2-12k+17） =-8k+4+24k-34 =16k-30， ∵△=4（k2-2k+1）-4（2k2-12k+17） =-4k2+40k-64≥0， 解得：2≤k≤8， ∴当k=8时，最大值为98，方程为x2-14x+49=0，两根为7； 当k=2时，最小值为2，方程为x2-2x+1=0，两根为1．

据专家权威分析，试题“已知：方程x2-2（k-1）x+2k2-12k+17=0，两根为x1、x2，求x12+x22的最..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0