题文

二次函数y=x2+px+q的图象经过点（2，-1）且与x轴交于不同的两点A（a，0）、B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．

题型：解答题  难度：中档

答案

由题意知4+2p+q=-1，即q=-2p-5， ∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+px+q上， ∴a+b=-p，ab=q， 又|AB|=|a-b|= (a+b)2-4ab = p2-4q ，M（- p 2 ， 4q-p2 4 ）， ∴S△AMB= 1 2 |AB|?| 4q-p2 4 | = 1 8 |a-b|?（P2-4q）= 1 8 (p2-4q)3 要使S△AMB最小，只须使P2-4q为最小， 而P2-4q=P2+8p+20=（p+4）2+4， ∴当p=-4时，P2-4q有最小值为4， 此时q=3，S△AMB= 1 8 × 43 =1． ∴二次函数解析式为y=x2-4x+3．

据专家权威分析，试题“二次函数y=x2+px+q的图象经过点（2，-1）且与x轴交于不同的两点A（a..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系二次函数的最大值和最小值

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。