题文

阅读下面的材料： 如果关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则x1= -b+ b2-4ac 2a ，x2= -b- b2-4ac 2a ， ∴x1+x2= -2b 2a =- b a ，x1?x2= b2-(b2-4ac) 4a2 = 4ac 4a2 = c a ； 综合得：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则有x1+x2=- b a ，x1?x2= c a ； 请利用这一结论解决问题： （1）方程x2+bx+c=0的两根为-1和3，求b与c的值； （2）设方程2x2-3x+1=0的两根为x1，x2，求 1 x1 + 1 x2 以及2x12+2x22的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵-1+3=-b，（-1）×3=c， ∴b=-2，c=-3； （2）∵x1+x2= 3 2 ，x1?x2= 1 2 ， ∴ 1 x1 + 1 x2 = x1+x2 x1x2 = 3 2 1 2 =3， 2x12+2x22=2（x12+x22）=2[（x1+x2）2-2x1x2] =2[( 3 2 )2-2× 1 2 ]=2( 9 4 -1)= 9 2 -2= 5 2 ．

据专家权威分析，试题“阅读下面的材料：如果关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0