题文

如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式可知，x1= -b+ b2-4ac 2a ，x2= -b- b2-4ac 2a ． 于是有x1+x2= -2b 2a =- b a ，x1-x2= b2-(b2-4ac) 4a2 = c a 综上得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有x1+x2=- b a ，x1x2= c a 这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例x1，x2是方程x2+6x-3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=-6，x1x2=-3，则 x 21 + x 22 =(x1+x^)2-2x1x2=（-6）2-2×（-3）=42． 请你根据以上材料解答下列题： （1）若x2+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值． （2）已知x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，求（x1-x2）2的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵x1+x2=- b a ，x1x2= c a ， ∴1+3=-b，1×3=c ∴b=-4，c=3； （2）∵x1+x2=4，x1x2=2， ∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42-4×2=8．

据专家权威分析，试题“如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0