题文

设x1、x2是关于x的方程x2-4x+k+1=0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1?x2-x1＞x2成立，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵x的方程x2-4x+k+1=0的两个实数根， ∴△=16-4（k+1）≥0， ∴k≤3， 又3x1?x2-x1＞x2， ∴3x1?x2-（x1+x2）＞0， 而x1+x2=4，x1?x2=k+1， ∴3×（k+1）-4＞0， ∴k＞ 1 3 ， ∴ 1 3 ＜k≤3， ∴存在实数k，使得3x1?x2-x1＞x2成立．

据专家权威分析，试题“设x1、x2是关于x的方程x2-4x+k+1=0的两个实数根．问：是否存在实数..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0