题文

关于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k是非零整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2-x1-2，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵k是非零整数， ∴△=[-（4k+1）]2-4k（3k+3）=16k2+8k+1-12k2-12k=4k2-4k+1=（2k-1）2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵x1+x2= 4k+1 k ，x1?x2= 3k+3 k ， ∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1?x2= (4k+1)2 k2 - 12k+12 k = (2k-1)2 k2 =（2- 1 k ）2， ∵k为整数， ∴2- 1 k ＞0， 而x1＜x2， ∴x2-x1=2- 1 k ， ∴y=2- 1 k -2 =- 1 k （k≠0的整数）， ∴y是变量k的函数．

据专家权威分析，试题“关于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k是非零整数）．（1）求证：方..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0