已知:关于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0).(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1<x2).若y是关于m的函数,且y=x2-2x1,求这-数学
题文
已知:关于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0). (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1<x2).若y是关于m的函数,且y=x2-2x1,求这个函数的解析式. |
答案
(1)证明:∵mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0)是关于x的一元二次方程, ∴△=[-(3m+2)]2-4m(2m+2)=m2+4m+4=(m+2)2, ∵m>0, ∴(m+2)2>0,即△>0, ∴方程有两个不相等的实数根; (2)由求根公式,得 x=
∴x=
∵
∴
∵x1<x2, ∴x1=1,x2=2+
∴y=x2-2x1=2+
∴该函数的解析式是:y=
|
据专家权威分析,试题“已知:关于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0).(1)求证:方程..”主要考查你对 一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的判别式 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根的判别式
考点名称:一元二次方程根与系数的关系
- 一元二次方程根与系数的关系:
如果方程 的两个实数根是那么,。
也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 一元二次方程根与系数关系的推论:
1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p , x1`x2=q
2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
提示:
①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值。
②有推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,他的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
考点名称:一元二次方程根的判别式
- 根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。
根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。 - 根的判别式有以下应用:
①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。
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