题文

已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m-2=0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两实数根之积等于m2+9m-11，求 m+6 的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由题意得：△=[-（m+2）]2-4（m-2）=m2+12， ∵无论m取何值时，m2≥0，∴m2+12≥12＞0 即△＞0恒成立， ∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）设方程两根为x1，x2，由韦达定理得：x1?x2=m-2， 由题意得：m-2=m2+9m-11，解得：m1=-9，m2=1， ∴ m+6 = 7 ．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m-2=0．（1）求证：无论m取何值时..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0