已知关于x的方程x2+(k+2)x+k-1=0.(1)求证:方程一定有两个不相等的实数根;(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且(x1-1)(x2-1)=k-3,求k的值.-数学

题文

已知关于x的方程x2+(k+2)x+k-1=0.
(1)求证:方程一定有两个不相等的实数根;
(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且(x1-1)(x2-1)=k-3,求k的值.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)证明:△=(k+2)2+4(k-1)
=k2+8,
∵k2≥0,
∴k2+8>0,即△>0,
∴方程一定有两个不相等的实数根;

(2)根据题意得x1+x2=-(k+2),x1?x2=k-1,
∵(x1-1)(x2-1)=k-3,
∴x1?x2-(x1+x2)+1=k-3,
∴k-1+k+2+1=k-3,
∴k=-5.

据专家权威分析,试题“已知关于x的方程x2+(k+2)x+k-1=0.(1)求证:方程一定有两个不相等的..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一元二次方程根与系数的关系

考点名称:一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系:
    如果方程 的两个实数根是那么
    也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论:
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2,那么x1+x2=-p , x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示:
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式,以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知,对于二次项系数为1的一元二次方程,他的两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理,利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数是1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0

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