题文

在△ABC，∠C=90°，斜边AB=10，直角边AC、BC的长是关于x的方程x2-mx+3m+6=0的两个实数根． （1）求m的值； （2）计算sinA+sinB+sinA?sinB．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图，设AC=x1，BC=x2， 由题意，得 x1+x2=m＞0，x1x2=3m+6＞0． 在Rt△ABC中，AC2+BC2=100， 即x12+x22=100， （x1+x2）2-2x1x2=100． m2-6m-112=0． 解得m1=14，m2=-8（舍去）． ∴m=14． （2）sinA+sinB+sinAsinB= x2 10 + x1 10 + x2 10 × x1 10 = x1+x2 10 + x1x2 100 由x1+x2=m=14，x1x2=3m+6=3×14+6=48得： x1+x2 10 + x1x2 100 = 14 10 + 48 100 = 47 25 ．

据专家权威分析，试题“在△ABC，∠C=90°，斜边AB=10，直角边AC、BC的长是关于x的方程x2-m..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0