题文

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动．运动时间为t秒； （1）用含有t的代数式表示BQ、CP的长； （2）写出t的取值范围； （3）用含有t的代数式表示Rt△PCQ和四边形APQB的面积； （4）当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求这个最小值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）t时刻时， ∵点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动， ∴CP=t，BQ=2t， 即用含有t的代数式表示BQ、CP的长为：BQ=2t，CP=t． （2）∵点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动， ∴Q的速度是P的两倍， ∵2AC＜BC， ∴可知P先到达A点， 且t= AC 1 =4． ∵若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动， ∴t的取值范围是：0≤t≤4． （3）由（1）得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm， ∴CQ=12-2t， ∴Rt△PCQ的面积为 1 2 ×CQ×CP= 1 2 ×(12-2t)×t=t（6-t）， ∵Rt△ABC的面积为 1 2 ×AC×BC= 1 2 ×4×12=24， ∴四边形APQB的面积=Rt△ABC的面积-Rt△PCQ的面积=24-t（6-t）． （4）由（3）得四边形APQB的面积为24-t（6-t）， 变形为t2-6t+24=（t-3）2+15， 根据二次函数的性质可知，当t=- -6 2×1 =3时，取得最小值，解为15． 即CP=3cm，BQ=6cm时面积最小，最小为15cm2．

据专家权威分析，试题“如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．点P从点C处出发以1c..”主要考查你对  一元二次方程的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的应用

考点名称：一元二次方程的应用

• 建立一元二次方程模型进行求解，把得到的答案带回实际问题中检验是否合理，来解决实际问题，如打折、营销、增长率问题等。

•  

• 列一元二次次方程组解应用题的一般步骤:
  可概括为“审、设、列、解、答”五步，即：
  （1）审：是指读懂题意，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的关系；
  （2）设：是指设未知数；
  （3）列：就是列方程，这是非常重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；
  （4）解：解这个方程，求出两个未知数的值；
  （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
  提示：
  ①列方程解应用题时，要善于将普通语言化为数学语言，审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。
  ②注重解法选择与验根，在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简单流畅，特别注意要对方程的解进行检验，根据实际情况作出正确取舍，以保证结论的准确性。
  
  常见题型公式：
  工程问题：    
  工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间  
  经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

  利润赢亏问题 
  销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 
  有关关系式：
  商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 
  商品利润率=商品利润/商品进价            
  商品售价=商品标价×折扣率 

  存款利率问题：
  利息=本金×利率×期数      
  本息和=本金+利息      
  利息税=利息×税率（20%）

  行程问题：
  基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间，
  路程=速度×时间。
  ①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；
  ②追及问题：快行距－慢行距＝原距；
  ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，
  逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度