已知关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围;(2)若3(x1+x2)=x1x2,求k的值.-数学
题文
已知关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求实数k的取值范围; (2)若3(x1+x2)=x1x2,求k的值. |
答案
(1)△=[2(k-1)]2-4(k2-1) =4k2-8k+4-4k2+4 =-8k+8. ∵原方程有两个不相等的实数根, ∴-8k+8>0, 解得k<1, 即实数k的取值范围是k<1; (2)由根与系数的关系,x1+x2=-2(k-1),x1x2=k2-1, ∵3(x1+x2)=x1x2, ∴-6(k-1)=k2-1, 化简得k2+6k-7=0, (k-1)(k+7)=0 ∴k=1或k=-7, 又∵k<1, ∴k=-7. |
据专家权威分析,试题“已知关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根..”主要考查你对 一元二次方程根的判别式 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
一元二次方程根的判别式
考点名称:一元二次方程根的判别式
- 根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。
根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。 - 根的判别式有以下应用:
①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。
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