题文

已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若3（x1+x2）=x1x2，求k的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）△=[2（k-1）]2-4（k2-1） =4k2-8k+4-4k2+4 =-8k+8． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴-8k+8＞0， 解得k＜1， 即实数k的取值范围是k＜1； （2）由根与系数的关系，x1+x2=-2（k-1），x1x2=k2-1， ∵3（x1+x2）=x1x2， ∴-6（k-1）=k2-1， 化简得k2+6k-7=0， （k-1）（k+7）=0 ∴k=1或k=-7， 又∵k＜1， ∴k=-7．

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一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。