题文

小红和小明在操场做游戏，他们分别在地上画了周长为4米的圆和正方形（如图1），蒙上眼在 一定距离外向圆和正方形内掷小石子，谁投进的次数多谁就胜． （1）你认为游戏公平吗？为什么？ （2）如图2是一块不规则形状的图形，你能否用频率估计概率的方法，来估算这个非规则图形的面积呢？请你设计方案，解决这一问题．（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）C圆=4， ∴2πr=4r= 2 π S⊙O=πr2=π（ 2 π ）2= 4 π =1.273（1分） C正方形=4， ∴a=1， ∴S正方形=1（2分）， ∵S圆＞S正（3分）， 抛入圆内的可能性大于投入正方形内的可能性，所以不公平（4分）． （2）能．（5分） ①用可测量的规则图形正方形，设其面积为S，将非规则图形围起来． ②往图形中掷点，（如蒙上眼睛掷石子，掷在形外不作记录） ③当掷点数充分大（如1万次），记录并统计结果，掷入正方形内m次，其中n次掷入非规则图形内（6分） ④设非规则图形面积为S′，用频率估计概率， 即频率P′（掷入非规则图形内）= n m ≈概率P（掷入非规则图形内）= S′ S ， 故 n m = S′ S （7分）， ∴S′= n m S（8分）．

据专家权威分析，试题“小红和小明在操场做游戏，他们分别在地上画了周长为4米的圆和正方..”主要考查你对  概率的意义，利用频率估算概率，利用概率解决问题  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

概率的意义利用频率估算概率利用概率解决问题

考点名称：概率的意义

• 概率的意义：
  一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=p，概率从某种数量上刻画一个不确定事件发生的可能性的大小。
  事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P。
  事件的概率：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0<P（A）<1。
  注：（1）在n试验中，事件A发生的频率m满足0≤m≤n，所以0≤≤1，故0≤P（A）≤1；
  （2）P（A）=0表示事件A是不可能发生的事件，P（A）=1表示事件A是必然发生的事件；
  （3）概率越大，表示事件发生的可能性越大；概率越小，表示事件发生的可能性越小；
  （4）人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般大量试验事件发生的频率可作为概率的估计值。

考点名称：利用频率估算概率

• 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
  注：
  （1）当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率；
  （2）利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P。
  （3）利用频率估计出的概率是近似值。

考点名称：利用概率解决问题

• 应用概率可以解决以下问题：
  （1）彩票中奖率的问题；
  （2）抽样检测中产品合格率的问题；
  （3）天气预报降水的概率；
  （4）抛硬币、掷骰字的问题；
  （5）圆盘分几个区域，分别涂色，转到哪个颜色的区域的概率；
  （6）有刚回及无放回的摸球问题。
  概率的应用情况远不止于这些，还有很多类似情况，在解决这类问题时，要充分理解题意，找到切入点，就能轻松的解决问题。