题文

抛物线的顶点在直线上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B． （1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值； （2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB； （3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝，求点M的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）（2）N(a, )，证明见解析（3）M（－3 , ）

解：（1）∵，∴顶点坐标为(－2 , )。 ∵顶点在直线上，@]∴－2+3=，解得。 （2）∵点N在抛物线上，且点N的横坐标为a， ∴点N的纵坐标为，即点N(a, )。 过点F作FC⊥NB于点C， 在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB－CB=, ∴  。 而， ∴NF2=NB2，NF=NB。 （3）连接AF、BF， 由NF=NB，得∠NFB=∠NBF， 由（2）的结论知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA。 ∵MA⊥x轴，NB⊥x轴， ∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。 ∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°。 ∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°。 又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。 又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF。 ∴，∴PF2= PA×PB＝。 过点F作FG⊥x轴于点G。 在Rt△PFG中，，∴PO=PG+GO=。 ∴P(－ , 0) 。 设直线PF：，把点F（－2 , 2）、点P(－ , 0)代入得 ，解得。 ∴直线PF：。 解方程，得x=－3或x=2（不合题意，舍去）。 当x=－3时，，∴M（－3 , ）。 （1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可。 （2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，从而得出NF2=NB2，即可得出答案。 （3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA?PB的值转化为PF的值，从而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解。

据专家权威分析，试题“抛物线的顶点在直线上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用