题文

如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)与点（-2，6）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值； （3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）y=x2－2x；（2）1.8；（3）（，）

试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（-2，6）即可根据待定系数法求解； （2）过点O作OF⊥AD，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．根据切线的性质可得AC⊥AD，即可证得四边形OFAE是矩形，由tan∠AOB=可得sin∠AOB=，即可求得AE、OD的长，当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．则在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，再根据勾股定理求解； （3）设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大，由tan∠AOB=可得直线OB的解析式为y=x，由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b．点R既在直线l上，又在抛物线上，可得x2－2x=x+b，再根据直线l与抛物线有唯一交点R（相切），可得方程2x2-11x-4b=0有两个相等的实数根，即可得到判别式△=0，从而可以求得结果． （1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（-2，6）， ∴ ，解得a=，b=－2 ∴抛物线的解析式为：y=x2－2x； （2）过点O作OF⊥AD，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB． ∵AD为切线， ∴AC⊥AD，  ∴AD∥OB． ∴四边形OFAE是矩形， ∵tan∠AOB=    ∴sin∠AOB=， ∴AE=OA·sin∠AOB=4×=2.4， OD=OA·tan∠OAD=OA·tan∠AOB=4×=3． 当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t． 则在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t， 由勾股定理得：DF=， ∴t=1.8秒； （3）设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切）， 此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．   ∵tan∠AOB=     ∴直线OB的解析式为y=x， 由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b． ∵点R既在直线l上，又在抛物线上， ∴x2－2x=x+b，化简得：2x2-11x-4b=0． ∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切）， ∴方程2x2-11x-4b=0有两个相等的实数根 ∴判别式△=0，即112+32b=0，解得b=， 此时原方程的解为x=，即xR= ， 而yR=xR2－2xR= ∴点R的坐标为R（，）． 点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.