题文

某商品的进价为每千克40元，销售单价与月销售量的关系如下表（每千克售价不能高于65元）： 销售单价(元) 50 53 56 59 62 65 月销售量（千克） 420 360 300 240 180 120 该商品以每千克50元为售价，在此基础上设每千克的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每千克商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）y=-20x2+220x+4200（0＜x≤15且x为整数）；（2）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是4800元．

试题分析：（1）销售利润=每件商品的利润×卖出件数，根据每千克售价不能高于65元可得自变量的取值； （2）把所得二次函数整理为顶点式，得到相应的x的整数值，即可求得相应的售价和最大的月利润． 试题解析：（1）y=（420-20x）（50+x-40）=-20x2+220x+4200（0＜x≤15且x为整数）； （2）y=-20（x-5.5）2+4805． ∵a=-20＜0， ∴当x=5.5时，y有最大值4805． ∵0＜x≤15且x为整数 ∴x=5或6． 当x=5时，50+x=55，y=4800（元），当x=6时，50+x=56，y=4800（元） ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是4800元． 考点: 1.二次函数的应用；2.二次函数的最值．

据专家权威分析，试题“某商品的进价为每千克40元，销售单价与月销售量的关系如下表（每千..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。