题文

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标． （2）试判断△BCD的形状，并说明理由． （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）y=-x2-2x+3，（-1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由见解析；（3）存在，p1（0，0）、p2（0，）、p3（-9，0）．

试题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断； （3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c 由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3． 把点A（1，0）、点B（-3，0）代入，得 解得a=-1，b=-2 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3． ∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4 ∴顶点D的坐标为（-1，4）； （2）△BCD是直角三角形．理由如下： 解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F． ∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3， ∴BC2=OB2+OC2=18 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， ∴CD2=DF2+CF2=2 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， ∴BD2=DE2+BE2=20 ∴BC2+CD2=BD2 ∴△BCD为直角三角形． 解法二：过点D作DF⊥y轴于点F． 在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3 ∴OB=OC∴∠OCB=45° ∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1 ∴DF=CF ∴∠DCF=45° ∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90° ∴△BCD为直角三角形． （3）①△BCD的三边，，又，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC； ②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，，即，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立； ③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则，即，解得：b=，故P是（0，）时，则△ACP∽△CBD一定成立； ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）． 则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，，即，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似； ⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）． 则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，，即，解得：e=﹣9，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为：p1（0，0）、p2（0，）、p3（-9，0）． 考点: 二次函数综合题．

据专家权威分析，试题“如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。