已知:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式;(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速-九年级数学
题文
已知:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2. (1)求该抛物线的解析式; (2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标;若不存在请说明理由. |
答案
(1) y=x2-x-6(2) (3)见解析 |
试题分析:(1)把点B、C的坐标代入抛物线解析式,根据对称轴解析式列出关于a、b、c的方程组,求解即可;(2)根据抛物线解析式求出点A的坐标,再利用勾股定理列式求出AC的长,然后求出OD,可得点D在抛物线对称轴上,根据线段垂直平分线上的性质可得∠PDC=∠QDC,PD=DQ,再根据等边对等角可得∠PDC=∠ACD,从而得到∠QDC=∠ACD,再根据内错角相等,两直线平行可得PQ∥AC,再根据点D在对称轴上判断出DQ是△ABC的中位线,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DQ=AC,再求出AP,然后根据时间=路程÷速度求出点P运动的时间t,根据勾股定理求出BC,然后求出CQ,根据速度=路程÷时间,计算即可求出点Q的速度.(3)假设存在这样的点M,使得△MPQ为等腰三角形,那么就需要要分类讨论:①当MP=MQ,即M为顶点;②;当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点;③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.进行分类求解即可. 试题解析:解:方法一:∵抛物线过C(0,-6) ∴c=-6, 即y=ax2+bx-6 由 ,解得:a= ,b=- ∴该抛物线的解析式为y=x2-x-6; 方法二:∵A、B关于x=2对称 ∴A(-8,0),设y=a(x+8)(x-12) C在抛物线上,∴-6=a×8×(-12) 即a= ∴该抛物线的解析式为:y=x2-x-6. (2)存在,设直线CD垂直平分PQ, 在Rt△AOC中,AC==10=AD ∴点D在对称轴上,连结DQ 显然∠PDC=∠QDC, 由已知∠PDC=∠ACD, ∴∠QDC=∠ACD,∴DQ∥AC, DB=AB-AD=20-10=10 ∴DQ为△ABC的中位线,∴DQ=AC=5. AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5 ∴t=5÷1=5(秒) ∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分, 在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3 ∴点Q的运动速度为每秒单位长度. (3)存在 过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9 在Rt△PQH中,PQ==3. ①当MP=MQ,即M为顶点, 设直线CD的直线方程为:y=kx+b(k≠0),则: ,解得:. ∴y=3x-6 当x=1时,y=-3 , ∴M1(1, -3). ②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点. 设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得: 42+y2=90 即y=± ∴M2(1,) M3(1,-). ③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点. 过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1, -3) 设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得: (y+3)2+52=90 即y=-3± ∴M4(1, -3+) M5((1, -3-) . 综上所述:存在这样的五点: M1(1, -3), M2(1,), M3(1,-), M4(1, -3+), M5
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