题文

二次函数y=ax²-6ax+c（a＞0）的图像抛物线过点C（0,4），设抛物线的顶点为D。 （1）若抛物线经过点（1，-6），求二次函数的解析式； （2）若a=1时，试判断抛物线与x轴交点的个数； （3）如图所示A、B是⊙P上两点，AB=8，AP=5。且抛物线过点A(x1,y1),B(x2,y2),并有AD=BD。设⊙P上一动点E（不与A、B重合），且∠AEB为锐角，若＜a≤1时，请判断∠AEB与∠ADB的大小关系，并说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

(1) ；（2）当0＜a＜0.5时，∠AEB ＜∠ADB ；当a=0.5时，∠AEB =∠ADB ；当0.5＜a≤1时，∠AEB ＞∠ADB.

试题分析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，可求a、c的值，即可确定函数解析式； （2）若 a=1时，计算出△的值，即可判断抛物线与x轴交点的个数； （3）由二次函数方程算出对称轴为x=3，顶点D为（3，4-9a）。因为AD=BD，所以⊿ADB是等腰三角形且对称轴垂直平分AB。因为AB=8，所以A,B的横坐标分别为-1和7，纵坐标同为4+7a，所以⊿ADB的高就是A（或B）与D的纵坐标之差16a.因为∠AEB为锐角，所以E点在线段AB的下方（在上方则是钝角），由于弧AB所对的圆周角都相等，不妨就让△AEB为一个等腰三角形，即E的横坐标为3.过E做AB的垂线，必过圆心P，所以△AEB的高为8. 所以，比较16a和8的大小就行。当0＜a＜0.5时，∠AEB ＜∠ADB ；当a=0.5时，∠AEB =∠ADB ；当0.5＜a≤1时，∠AEB ＞∠ADB. 试题解析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，得： ，解得： 所以二次函数的解析式为：. （2）当a=1时，； △=（-6）2-4c=36-4c （i）当36-4c＞0，即c＜9时，抛物线与x轴交点的个数有2个； （ii）当36-4c=0，即c=9时，抛物线与x轴交点的个数有1个； （iii）36-4c＜0，即c＞9时，抛物线与x轴没有交点； （3）当0＜a＜0.5时，∠AEB ＜∠ADB ；当a=0.5时，∠AEB =∠ADB ；当0.5＜a≤1时，∠AEB ＞∠ADB. 考点: 二次函数综合题.

据专家权威分析，试题“二次函数y=ax²-6ax+c（a＞0）的图像抛物线过点C（0,4），设抛物..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：