题文

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC. （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q，试问线段PQ的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由； （3）若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°，求点M的坐标.

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）y=x2-4x+3；（2）存在，；（3）（2，2-）或（2，2+）.

试题分析：（1）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线求出a、c即可得解； （2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出PQ的长，再根据二次函数的最值问题解答； （3）求出△ABC的外接圆的圆心D的坐标，再求出外接圆的半径，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分点M在点D的下方和上方两种情况写出点M的坐标即可． 试题解析：：（1）抛物线的对称轴为直线x= ∵点A（1，0）， ∴点B的坐标为（3，0）， ∵点C在y轴的正半轴，OB=OC， ∴点C的坐标为（0，3）， ∴， 解得， ∴此抛物线的解析式y=x2-4x+3； （2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则 ， 解得， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， ∴PQ=（-x+3）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-）2+， ∵点Q在x轴下方， ∴1＜x＜3， 又∵-1＜0， ∴当x=时，PQ的长度有最大值； （3）如图，设△ABC的外接圆的圆D， 则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上， ∴点D的坐标为（2，2）， ∴外接圆的半径为， ∵OB=OC， ∴∠ABC=45°， ∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点， 点M在点D的下方时，M1（2，2-）， 点M在点D的上方时，M2（2，2+）， 综上所述，M（2，2-）或（2，2+）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°． 考点: 二次函数综合题.

据专家权威分析，试题“平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）