题文

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），且经过原点O，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m，n（m＜n）分别是方程x2-2x-3=0的两根． （1）求m，n的值． （2）求抛物线的解析式． （3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD，BD．当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）m=-1，n=3；（2）y=-x2+x；（3）P1（，-），P2（，-），P3（，-）．

试题分析：（1）解方程即可得出m，n的值． （2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （3）首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可． 试题解析：（1）解方程x2-2x-3=0， 得 x1=3，x2=-1． ∵m＜n， ∴m=-1，n=3． （2）∵m=-1，n=3， ∴A（-1，-1），B（3，-3）． ∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0）． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为y=-x2+x． （3）设直线AB的解析式为y=kx+b． ∴，解得：， ∴直线AB的解析式为y=-x-． ∴C点坐标为（0，-）． ∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3）， ∴直线OB的解析式为y=-x． ∵△OPC为等腰三角形， ∴OC=OP或OP=PC或OC=PC． 设P（x，-x）， （i）当OC=OP时，x2+（-x）2=． 解得x1=，x2=-（舍去）． ∴P1（，-）． （ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上， ∴P2（，-）． （iii）当OC=PC时，由x2+（-x+）2=， 解得x1=，x2=0（舍去）． ∴P3（，-）． ∴P点坐标为P1（，-），P2（，-），P3（，-）． 考点: 二次函数综合题.

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A的坐标为（m，m），点B的..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：