题文

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似； （3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大.若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

(1)直线的解析式为y=x-3，抛物线解析式为； (2)①t=,②t=；(3)存在，理由见解析.

试题分析：（1）将A点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛物线的解析式． （2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到AQ、AP的长，然后分三种情况讨论： ①∠APQ=90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值； ②∠AQP=90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值； ③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的． （3）过D作y轴的平行线，交直线AC于F，设出点D的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标，进而可求得DF的长，以DF为底，A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式（或由△ADF、△CDF的面积和求得），由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标． 试题解析： ∵直线y=kx-3过点A（4，0），∴0=4k-3，解得k=． ∴直线的解析式为y=x-3． 由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C(0，-3)． ∴，解得m=． ∴抛物线解析式为 （2）对于抛物线， 令y=0，则，解得x1=1，x2=4． ∴B(1，0). ∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t. ①若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC（如图1）， ∴△AP1Q1∽△AOC. ∴,∴．解得t=； ②若∠P2Q2A=90°,∵∠P2AQ2=∠OAC，∴△AP2Q2∽△AOC. ∴,∴．解得t=； 综上所述，当t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似． （3）答：存在． 过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）. ∴S△ADF=DF·AE，S△CDF=DF·OE． ∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=DF×(AE+OE)=×4(DE+EF)=2×()=． ∴S△ACD=（0<x<4）． 又0<2<4且二次项系数，∴当x=2时，S△ACD的面积最大． 而当x=2时，y=． ∴满足条件的D点坐标为D(2,)．

据专家权威分析，试题“已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：