题文

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）． （1）求m的值及点A的坐标； （2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′． ①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长； ②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标； ③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）m="1,A(-2,0);" (2)①,②点E′的坐标是（1，1）,③点E′的坐标是（，1）．

试题分析：(1)将点代入解析式即可求出m的值，这样写出函数解析式，求出A点坐标； （2）①将E点的坐标代入二次函数解析式，即可求出AA′；②连接EE′，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出A′B2+BE′2 当n=1时，其最小时，即可求出E′的坐标；③过点A作AB′⊥x轴，并使AB′ =" BE" = 3．易证△AB′A′≌△EBE′，当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，由相似就可求出E′的坐标 试题解析： 解：（1）由题意可知4m=4，m=1． ∴二次函数的解析式为． ∴点A的坐标为（-2,0）． （2）①∵点E（0,1），由题意可知， ． 解得． ∴AA′=． ②如图，连接EE′． 由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O=2-n． 在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2， 得A′B2=(2–n)2+42=n2-4n+20． ∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的， ∴EE′∥AA′，且EE′=AA′． ∴∠BEE′=90°，EE′=n． 又BE=OB-OE=3. ∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=n2+9， ∴A′B2+BE′2=2n2-4n+29=2(n–1)2+27． 当n=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）． ③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′=BE=3． 易证△AB′A′≌△EBE′， ∴B′A′=BE′， ∴A′B+BE′=A′B+B′A′． 当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值． 易证△AB′A′∽△OBA′， ∴， ∴AA′=， ∴EE′=AA′=， ∴点E′的坐标是（，1）．

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+(m-1)x+4m的图象与x轴负半..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式