题文

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为（3,15），且过点（－2，10），对称轴AB交轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D′是点D关于直线EC的轴对称点. （1）求抛物线的解析式； （2）若点D′恰好落在轴上的点（0，6）时，求此时D点的坐标； （3）直线CD′交对称轴AB于点F, ①当点D′在对称轴AB的左侧时，且△ED′F∽△CDE，求出DE:DC的值； ②连结B D′，是否存在点E，使△E D′B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由.

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）;（2）(8,10); （3）①;②.

试题分析：（1）由已知,应用待定系数法设顶点式求解; （2）根据勾股定理和轴对称的性质列方程组求解; （3）①由勾股定理和相似三角形的性质列式求解; ②由①可知△ED′F≌△CBF时, D′F=BF,从而得出结论. 试题解析：（1）∵抛物线的顶点A的坐标为（3,15）， ∴可设抛物线的解析式为. ∵抛物线过点（－2，10）, ∴.解得. ∴抛物线的解析式为,即. （2）设D(x,ｙ),则E(3, ｙ), DE="x-3," DC=ｙ. 由D′（0，6）,根据勾股定理,得: D′C=, D′E=, 根据轴对称的性质,有D′C="DC," D′E= DE,即,解得. ∴此时D点的坐标为(8,10). （3）①易证△ED′F≌△CBF,则D′F=BF. 设D′C=DC=a,D′E=DE=b,D′F=BF=c, 在Rt△CBF中,由勾股定理,得:CF2=BF2+D′C2,即(D′C- D′F)2=BF2+D′C2. ∴,整理,得. ∵△ED′F∽△CDE，∴,即,即,即,即. ∴DE:DC=. ②存在,由①可知BE:BC=.

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为（3,15），且过点..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。