题文

已知抛物线的解析式为 （1）求证：不论m为何值，此抛物线与x轴必有两个交点，且两交点A、B之间的距离为定值； （2）设点P为此抛物线上一点，若△PAB的面积为8，求符合条件的点P的坐标； （3）若（2）中△PAB的面积为S（S>0），试根据面积S值的变化情况，确定符合条件的点P的个数（本小题直接写出结论，不要求写出计算、证明过程）.

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明见解析；（2）（m，4）或(，?4)或（，-4）；（3）当s=8时，符合条件的点P有3个，当0＜s＜8时，符合条件的点P有4个，当s＞8时，符合条件的点P有2个．

试题分析：（1）本题需先求出△的值，再证出△＞0，再设出A、B的坐标，然后代入公式即可求出AB的长； （2）本题需先设出P的坐标，再由题意得出b的值，然后即可求出符合条件的所有点P的坐标； （3）本题需分当s=8时，当0＜s＜8时，当s＞8时三种情况进行讨论，即可得出符合条件的点P的个数． 试题解析：：（1）∵△=（2m）2-4×（-1）（4-m2）=16＞0， ∴不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点． 设A（x1，0），B（x2，0）， 则（定值）. （2）设P（a，b），则由题意b=-a2+2am+4-m2，且， 解得b=±4． 当b=4时得：a=m，即P（m，4）； 当b=-4时得：，即P(，?4)或P（，-4）. 综上所述，符合条件的点P的坐标为（m，4）或(，?4)或（，-4）. （3）由（2）知当s=8时，符合条件的点P有3个，当0＜s＜8时，符合条件的点P有4个，当s＞8时，符合条件的点P有2个．

据专家权威分析，试题“已知抛物线的解析式为（1）求证：不论m为何值，此抛物线与x轴必有两..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于