题文

如图，抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12). （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动.问当t为何值时，△APQ∽△AOB？ （3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N． ①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）；（2）；（3）①不存在；②当点M运动到（，－6）时，四边形CBNA的面积最大，四边形CBNA面积的最大值为．

试题分析：（1）应用待定系数法，设交点式求解； （2）根据相似三角形的性质求解即可； （3）①由MN＝OB＝12列式，根据一元二次方程根的判别式小于0得出不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形结论；②求出面积关于x的二次函数关系式，应用二次函数最值原理求解即可. 试题解析：（1）因抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0)，故设抛物线解析式为：. 又∵B(0,-12) ∴ ，解得a=。 ∴抛物线的解析式为. （2）∵OA=9，OB=12，∴AB=15. ∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP＝2t，AQ＝15－t. 又∵AC=12，∴0≤t≤6. ∵△APQ∽△AOB，∴，即，解得. ∴当时，△APQ∽△AOB. （3）易求直线AB的函数关系式为． 设点M的横坐标为x，则M（x，），N（x，）． ①若四边形OMNB为平行四边形，则MN＝OB＝12 ∴，即x2－9x＋27＝0. ∵△＜0，∴此方程无实数根. ∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形． ②∵S四边形CBNA=S△ACB+S△ABN="72+" S△ABN ∵S△AOB＝54，S△OBN＝6x，S△OAN＝·9·＝－2x2＋12x＋54 ∴S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝. ∴当x＝时，S△ABN最大值＝，此时M（，－6） S四边形CBNA最大=．

据专家权威分析，试题“如图，抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12)...”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。