题文

在平面直角坐标系中，矩形OABC过原点O，且A（0，2）、C（6，0），∠AOC的平分线交AB于点D． （1）直接写出点B的坐标； （2）如图，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． ①当t为何值时，△OPQ的面积等于1； ②当t为何值时，△PQB为直角三角形； （3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=-（x-t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）（6，2）；（2）1，当t=2或t=5+或t=5-；（3）t1=，t2=2．

试题分析：（1）根据题意知B点坐标为（6，2）； （2）①可设t秒后△OPQ的面积等于1，则有P（，t）Q（2t，0），根据三角形的面积即可计算出t的值； ②要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2=（6-t）2+（2-t）2，QB2=（6-2t）2+22，PQ2=（2t-t）2+t2=2t2，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可； (3)存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值． 试题解析：（1）根据题意知B点坐标为（6，2）； (2)①设t秒后△OPQ的面积等于1，则有P（，t）Q（2t，0），则有： ×t×2t=1 解得：t=1或-1（舍去） 故1秒后△OPQ的面积等于1 ②要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°． 如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中， ∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°， ∵OP=t，∴OG=PG=t， ∴点P（t，t） 又∵Q（2t，0），B（6，2）， 根据勾股定理可得：PB2=（6-t）2+（2-t）2，QB2=（6-2t）2+22，PQ2=（2t-t）2+t2=2t2， ①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2， 即：2t2+[（6-2t）2+22]=（6-t）2+（2-t）2， 整理得：4t2-8t=0， 解得：t1=0（舍去），t2=2， ∴t=2， ②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2， ∴[（6-t）2+（2-t）2]+[（6-2t）2+22]=2t2， 整理得：t2-10t+20=0， 解得：t=5±． ∴当t=2或t=5+或t=5-时，△PQB为直角三角形． （3）存在这样的t值，理由如下： 将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上， 则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形． ∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t，t）， ∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t-6，t-2）， 代入y=-（x-t）2+t，得：2t2-13t+18=0， 解得：t1=，t2=2． 考点: 二次函数综合题．

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，矩形OABC过原点O，且A（0，2）、C（6，0），∠AO..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，