题文

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐上，且点A(0，2)，点C(，0)，如图所示：抛物线经过点B。 （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）（-3，1）；（2）y=x2+x-2；（3）P1（1，-1）、P2（2，1）.

试题分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标； （2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式； （3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案． 试题解析：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BCD≌△CAO， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（-3，1）； （2）抛物线y=ax2+ax-2经过点B（-3，1），则得到1=9a-3a-2， 解得a=， 所以抛物线的解析式为y=x2+x-2； （3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1， 过点P1作P1M⊥x轴， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC． ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，-1）； ②若以点A为直角顶点； 则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2， 过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1）， 经检验，点P1（1，-1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x-2上． 考点: 二次函数综合题.

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。