题文

已知，二次函数的图像经过点和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2． （1）求点B的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图像的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

(1)点B的坐标是（3，4）,(2)二次函数的解析式是 (3)点P的坐标为（6，0）或（，0）．

试题分析：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，根据余切的定义可设BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根据勾股定理可计算出x，则BD=4，OD=3，所以点B的坐标是（3，4）； （2）利用待定系数法可确定二次函数的解析式； （3）先确定C点的坐标为（-8，4），则BC=11，AB=4，由CB∥x轴得到∠ABC=∠BAP，再分类讨论：当△ABC∽△BAP；当△ABC∽△PAB，然后利用比例线段求AP的长，从而确定P点坐标． 试题解析： 解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D  在Rt△ADB中，∠ADB=90º， cot∠BAO==2． 设BD=x，AD=2x，由题意，得OA=0B=5，∴OD=2x-5． 在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，∴， 解得，（不合题意，舍去）． ∴BD=4，OD=3，∴点B的坐标是（3，4）． （2）由题意，得，解这个方程组，得  ∴二次函数的解析式是 （3）∵直线BC平行于x轴，∴C点的纵坐标为4，设C点的坐标为（m，4）． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去），． ∴C点的坐标为（-8，4），   BC=11，  AB= ． ∵∠ABC=∠BAP， ①如果△ABC∽△BAP，那么， ∴AP=11，点P的坐标为（6，0）．m] ②如果△ABC∽△PAB，那么， ∴AP=，点P的坐标为（，0）． 综上所述，点P的坐标为（6，0）或（，0）．

据专家权威分析，试题“已知，二次函数的图像经过点和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）