如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点D．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）已知抛物线过A、B、C三-九年级数学
题文
如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点D． （1）求证：∠CAD =∠CAB； （2）已知抛物线  过A、B、C三点，AB=10，tan∠CAD= ．① 求抛物线的解析式； ② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由； ③ 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由． |
答案
(1)证明见解析；（2）y=- x2- x+4；顶点E是否在直线CD上，理由见解析；P1（-10，-6），P2（10，-36）． |
试题分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB； （2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA?OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD= ，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案； ③根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心漏解． 试题解析:（1）证明：连接O′C，  ∵CD是⊙O′的切线， ∴O′C⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴O′C∥AD， ∴∠O′CA=∠CAD， ∵O′A=O′C， ∴∠CAB=∠O′CA， ∴∠CAD=∠CAB； （2）解：①∵AB是⊙O′的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OC⊥AB， ∴∠CAB=∠OCB， ∴△CAO∽△BCO， ∴  ，即OC2=OA?OB， ∵tan∠CAO=tan∠CAD= ，∴AO=2CO， 又∵AB=10， ∴OC2=2CO（10-2CO）， 解得CO1=4，CO2=0（舍去）， ∴CO=4，AO=8，BO=2 ∵CO＞0， ∴CO=4，AO=8，BO=2， ∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4）， ∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点， ∴c=4， 由题意得：  ，解得：  ，∴抛物线的解析式为：y=- x2-x+4；②设直线DC交x轴于点F， ∴△AOC≌△ADC， ∴AD=AO=8， ∵O′C∥AD， ∴△FO′C∽△FAD， ∴  ，∴O′F?AD=O′C?AF， ∴8（BF+5）=5（BF+10）， ∴BF=  ，F（ ，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m， 则  ，解得：  ，∴直线DC的解析式为y=-  x+4，由y=- x2-x+4=-（x+3）2+ 得顶点E的坐标为（-3，），将E（-3， ）代入直线DC的解析式y=--x+4中，右边=- ×（-3）+4==左边，∴抛物线顶点E在直线CD上； （3）存在，P1（-10，-6），P2（10，-36）． ①∵A（-8，0），C（0，4）， ∴过A、C两点的直线解析式为y= x+4，设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y= x+b，把B（2，0）代入得b=-1，∴直线PB的解析式为y= x-1，∴  ，解得  , （舍去），∴P1
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