题文

已知直线y=x+6交x轴于点A，交y轴于点C，经过A和原点O的抛物线y=ax2+bx(a＜0）的顶点B在直线AC上. （1）求抛物线的函数关系式； （2）以B点为圆心，以AB为半径作⊙B，将⊙B沿x轴翻折得到⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由； （3）若E为⊙B优弧上一动点,连结AE、OE，问在抛物线上是否存在一点M，使∠MOA︰∠AEO=2︰3，若存在，试求出点M的坐标；若不存在，试说明理由.

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）该抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣2x； （2）相切，理由见解析； （3）存在这样的点M ，M的坐标为（﹣6+，﹣1+2）或（﹣6﹣，﹣1﹣2）．

试题分析：（1）根据过A、C两点的直线的解析式即可求出A，C的坐标，根据A，O的坐标即可得出抛物线的对称轴的解析式，然后将A点坐标代入抛物线中，联立上述两式即可求出抛物线的解析式． （2）直线与圆的位置关系无非是相切与否，可连接AD，证AD是否与AC垂直即可．由于B，D关于x轴对称，那么可得出∠CAO=∠DAO=45°，因此可求出∠DAB=90°，即DA⊥AC，因此AC与圆D相切． （3）根据圆周角定理可得出∠AEO=45°，那么∠MOA=30°，即M点的纵坐标的绝对值和横坐标的绝对值的比为tan30°，由此可得出x，y的比例关系式，然后联立抛物线的解析式即可求出M点的坐标．（要注意的是本题要分点M在x轴上方还是下方两种情况进行求解）． 试题解析：（1）根据题意知：A（﹣6，0），C（0，6） ∵抛物线y=ax2+bx（a＜0）经过A（﹣6，0），0（0，0）． ∴对称轴x==﹣3，b=6a…① 当x=﹣3时，代入y=x+6得y=﹣3+6=3， ∴B点坐标为（﹣3，3）． ∵点B在抛物线y=ax2+bx上， ∴3=9a﹣3b…② 结合①②解得a=﹣，b=﹣2， ∴该抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣2x； （2）相切 理由：连接AD， ∵AO=OC ∴∠ACO=∠CAO=45° ∵⊙B与⊙D关于x轴对称 ∴∠BAO=∠DAO=45° ∴∠BAD=90° 又∵AD是⊙D的半径， ∴AC与⊙D相切． ∵抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣2x， ∴函数顶点坐标为（﹣3，3）， 由于D、B关于x轴对称， 则BD=3×2=6； （3）存在这样的点M． 设M点的坐标为（x，y） ∵∠AEO=∠ACO=45° 而∠MOA：∠AEO=2：3 ∴∠MOA=30° 当点M在x轴上方时，=tan30°=， ∴y=﹣x． ∵点M在抛物线y=﹣x2﹣2x上， ∴﹣x=﹣x2﹣2x， 解得x=﹣6+，x=0（不合题意，舍去） ∴M（﹣6+，﹣1+2）． 当点M在x轴下方时，=tan30°=， ∴y=x， ∵点M在抛物线y=﹣x2﹣2x上． ∴x=﹣x2﹣2x， 解得x=﹣6﹣，x=0（不合题意，舍去）． ∴M（﹣6﹣，﹣1﹣2）， ∴M的坐标为（﹣6+，﹣1+2）或（﹣6﹣，﹣1﹣2）． ．