题文

如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）；（2）9；（3）△AOB∽△DBE.理由见解析.

试题分析：（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D的坐标；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形AEDB的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得． （3）先判定△DBE是直角三角形，即可得证△AOB∽△DBE. 试题解析：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3）， ∴设抛物线解析式为 根据题意，得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由顶点坐标公式求得顶点坐标为（1，4） 设对称轴与x轴的交点为F ∴四边形ABDE的面积＝  ； （3）相似 如图，； 即：，所以△BDE是直角三角形 ∴∠AOB＝∠DBE＝90°，且， ∴△AOB∽△DBE. 考点: 二次函数综合题．

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成