题文

如图，抛物线y=－x+4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C. (1)求直线BC的解析式； (2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式； (3)在(2)的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标.

题型：解答题  难度：偏难

答案

(1) y=   (2) S=   (3)存在，P(2,9)或P(3,8)

试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，再令x=0求出点C的坐标，设直线BC解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于F，根据抛物线和直线BC的解析式表示出PF，再根据S△PBC=S△PCF+S△PBF整理即可得解； （3）设AP、BC的交点为E，过点E作EG⊥x轴于G，根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG∥PH，然后判断出△AGE和△AHP相似，根据相似三角形对应边成比例可表示出EG、HG，然后表示出BG，根据OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°，再根据等角对等边可得EG=BG，然后列出方程求出m的值，再根据抛物线解析式求出点P的纵坐标，即可得解． 试题解析：（1）当y=0时，x1=5，x2=－1， ∵A左B右， ∴A(-1，0),B(5，O) 当x=0时，y=5， ∴C（0,5）， 设直线BC解析式为y=kx+b, ∴ ∴ ∴直线BC解析式为:y=； (2)作PH⊥x轴于H，交BC于点F， P(m，-m2+4m+5)，F(m,-m+5) PF=-m2+5m ， S△PBC=S△PCF+S△PBF S= ∴S=； (3)存在点P， 作EG⊥AB于G,PH⊥AB于H， ∴EG∥PH， ∴△AGE∽△AHP， ∴， ∵P(m，-m2+4m+5)， EG=， AH=m-(-1)=m+1，   GH=， HB="5-m" ，GB=， ∵OC=OB=5， ∴∠OCB=∠OBC=45°， ∴EG=BG， ∴=， ∴m1=2   m2=3， 当m=2时，P(2,9)， 当m=3时，P(3,8)， ∴存在这样的点P, 使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8)．

据专家权威分析，试题“如图，抛物线y=－x+4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C...”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程