题文

如图，已知△OAB的顶点A（-6，0），B（0，2），O是坐标原点， 将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC． （1）写出C点的坐标为          ; （2）设过A，D，C三点的抛物线的解析式为，求其解析式? （3）证明AB⊥BE．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）C（2，0），D（0，6）；（2）y=﹣x2﹣2x+6；（3）证明见解析．

试题分析：（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得C、D两点的坐标； （2）由于抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再将D（0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标； （3）已知A、B、E三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出AB2=40，BE2=40，AE2=80，则AB2+BE2=AE2，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE． 试题解析：（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC， ∴△ODC≌△OAB， ∴OC=OB=2，OD=OA=6， ∴C（2，0），D（0，6）； （2）∵抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0）， ∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0）， ∵D（0，6）在抛物线上， ∴6=﹣12a， 解得a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2），即y=﹣x2﹣2x+6； （3）∵y=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8， ∴顶点E的坐标为（﹣2，8）， 连接AE． ∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8）， ∴AB2=62+22=40，BE2=（﹣2﹣0）2+（8﹣2）2=40，AE2=（﹣2+6）2+（8﹣0）2=80， ∴AB2+BE2=AE2， ∴AB⊥BE．．

据专家权威分析，试题“如图，已知△OAB的顶点A（-6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。